碧波蕩漾的意思是什么 怎么理解碧波蕩漾的意思
2023-01-30
蒙特卡羅方法 蒙特卡羅的方法是
更新時(shí)間：2022-06-11 13:57:32作者：未知
蒙特卡羅方法是一種通過隨機(jī)變量的數(shù)字模擬和統(tǒng)計(jì)分析來求取數(shù)學(xué)物理、工程技術(shù)問題近似解的數(shù)值方法，基本步驟：隨機(jī)變量的抽樣試驗(yàn)。按基本隨機(jī)變量（輸入隨機(jī)變量）的已知概率分布進(jìn)行隨機(jī)抽樣（數(shù)字模擬）。樣本反應(yīng)求解。對(duì)每個(gè)抽取的樣本，按問題的性質(zhì)采用確定性的控制數(shù)學(xué)、物理方程求取樣本反應(yīng)。計(jì)算反應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)。對(duì)所有樣本反應(yīng)，按所求解答的類型分別求取輸出隨機(jī)變量的均值、方差或概率分布。
當(dāng)求解確定性問題時(shí)，首先，要根據(jù)所提出的問題構(gòu)造一個(gè)簡單、適用的概率模型，使問題的解對(duì)應(yīng)于該模型中隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征（如概率、數(shù)學(xué)期望、方差等）；然后，在高速運(yùn)行的計(jì)算機(jī)上生成隨機(jī)數(shù)，并對(duì)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析試驗(yàn)；最后，利用試驗(yàn)所獲結(jié)果求出統(tǒng)計(jì)特征的估計(jì)值作為問題的近似解。總結(jié)以上思想，可以得出利用蒙特卡羅方法求解確定性問題的基本步驟為：
（1）根據(jù)所要求解的實(shí)際問題來構(gòu)造概型，并使概型的某些統(tǒng)計(jì)特征恰好相當(dāng)于所要求的問題的解。
?。?）根據(jù)所建立的概率模型，設(shè)計(jì)、使用一些加速收斂的方法，以求加速收斂并提高計(jì)算精度。
?。?）給出在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生概型中各種不同分布隨機(jī)變量的方法。
（4）統(tǒng)計(jì)處理模擬結(jié)果，給出問題的近似解并做解的精度估計(jì)。
蒙特卡羅方法雖然可以求解許多確定性工程技術(shù)問題，但其獨(dú)到之處還應(yīng)該在于求解隨機(jī)性問題。用蒙特卡羅方法求解隨機(jī)性問題時(shí)，一般首先，根據(jù)問題的物理性質(zhì)建立隨機(jī)模型；然后，再根據(jù)模型中各個(gè)隨機(jī)變量的分布，在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行大量的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，以取得所求問題的大量試驗(yàn)值；最后，根據(jù)這些試驗(yàn)結(jié)果求它的統(tǒng)計(jì)特征量，從而獲得所求問題的解。由此可見，用蒙特卡羅方法求解隨機(jī)問題的步驟與求解確定性問題的步驟基本一致。
總之，蒙特卡羅方法的理論基礎(chǔ)是概率論中的大數(shù)定律。設(shè)在N次獨(dú)立試驗(yàn)中，n為事件A出現(xiàn)的次數(shù)，而P（A）為事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，貝努利大數(shù)定律指出，對(duì)于任意ε＞0，當(dāng)N→∞時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻率的概率收斂于事件的概率。
地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理
當(dāng)隨機(jī)變量滿足獨(dú)立分布時(shí)，若隨機(jī)變量序列ξ1，ξ2，…，ξN的分布相同，ξi具有有限的數(shù)學(xué)期望E（ξi）=a，i=1，2，…，N，則根據(jù)柯欠莫哥洛夫大數(shù)定律，對(duì)于任意的ε＞0，當(dāng)N→∞時(shí)，變量ξi將以概率1收斂于期望值a。
在蒙特卡羅方法中，采用簡單抽樣方法進(jìn)行隨機(jī)變量的數(shù)字模擬，因此其所抽取的子樣為具有同分布性質(zhì)的獨(dú)立隨機(jī)變量，當(dāng)抽取的樣本個(gè)數(shù)足夠大時(shí)，樣本均值將以概率1收斂于分布均值，而事件A出現(xiàn)的頻率則以概率收斂于事件A出現(xiàn)的概率，這樣就保證了蒙特卡羅方法的概率收斂性。
根據(jù)所求解問題性質(zhì)的不同，其基本隨機(jī)變量可能屬于不同的概率分布，為了產(chǎn)生不同分布類型的隨機(jī)變量的抽樣值（隨機(jī)數(shù)），一般需先產(chǎn)生一個(gè)在［0，1］上均勻分布的隨機(jī)變量的抽樣值，然后按照給定的概率分布類型將其轉(zhuǎn)化為所需隨機(jī)變量的抽樣值。因此，均勻分布隨機(jī)變量隨機(jī)數(shù)的生成是蒙特卡羅方法實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)。利用數(shù)值法產(chǎn)生的均勻隨機(jī)變量的抽樣值稱之為偽隨機(jī)數(shù)，這是因?yàn)閿?shù)值方法的基礎(chǔ)是某一數(shù)學(xué)遞推公式，按這類遞推公式產(chǎn)生的抽樣與［0，1］均勻分布中的抽樣在統(tǒng)計(jì)性質(zhì)上不可能完全相同。
數(shù)學(xué)遞推公式的一般形式是：
式中：f（xn，xn-1，…，xn-k）——某一給定的函數(shù)形式。根據(jù)這一函數(shù)式，當(dāng)給定一組初值，x0，x-1，…，x-k后，便可依次求出x1，x2，…，xm…最常用的（0，1）均勻分布隨機(jī)數(shù)生成的遞推公式有：
乘同余法。用以產(chǎn)生（0，1）均勻分布隨機(jī)數(shù)的遞推公式為：
式中：λ，M和x0——預(yù)先給定的常數(shù)。
式（2、4）的意義是指以M除以λxi-1后得到的余數(shù)記為xi。由于是余數(shù)。
如此所得的隨機(jī)數(shù)序列r1，r2，…，ri為具有（0，1）均勻分布的隨機(jī)數(shù)。
由式（2、4）不難看出，不同的xi最多只能有M個(gè)，相應(yīng)地不同的隨機(jī)數(shù)ri也最多只能有M個(gè)。所以當(dāng)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)ri個(gè)數(shù)多于M個(gè)時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)循環(huán)數(shù)，這樣，便再不能看成是隨機(jī)數(shù)。為了使所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)能經(jīng)得住數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的獨(dú)立性和均勻性檢驗(yàn)，需要合理選擇隨機(jī)數(shù)生成參數(shù)x0，λ及M。