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1、△ABC的內(nèi)心為I，內(nèi)切圓與三邊切于D、E、F，那么：AE=AF，BD=BF，CD=CE

2、設(shè)三角形的三邊程度分別是a、b、c，那么：BD=BF=(a+c-b)/2

3、線段的比例：BD:CD=(a+c-b):(a+b-c)=cot(B/2):cot(C/2)進(jìn)而，得到一個(gè)三角恒等式：(sinA+sinC-sinB):(sinA+sinB-sinC)=cot(B/2):cot(C/2)

4、設(shè)P是BC的中點(diǎn)，D關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)是D1，那么：AB+BD1=AC+CD1也就是說，AD1平分△ABC的周長(zhǎng)。

5、設(shè)Q是BA中點(diǎn)，R是AB中點(diǎn)；

用上面的方法，同樣可以構(gòu)造出△ABC的周長(zhǎng)平分線BE1和CF1。

6、三角形的三條周長(zhǎng)平分線共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為△ABC的界心，標(biāo)記為J。

7、設(shè)G為△ABC的重心，那么，I、G、J三點(diǎn)共線，且JG=2*IG。

8、由此可知，△ABC和△PQR關(guān)于G透視對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)關(guān)系是：A、B、C對(duì)應(yīng)P、Q、R，I對(duì)應(yīng)J，直線AJ對(duì)應(yīng)直線PI。所以，直線PI是△PQR的周長(zhǎng)平分線。

9、設(shè)PI與QR交于T，那么：A、T、D共線。

10、S(BCI):S(CAI):S(ABI)=a:b:c=sinA:sinB:sinC這樣可以求出I相對(duì)于△ABC的重心坐標(biāo)是(sinA:sinB:sinC)。

11、直角三角形的內(nèi)心：△BAC中，AK⊥BC于K，I、M、N分別是△ABC、ABK、ACK的內(nèi)心，ID⊥BC于D，AK交PQ于T。

求證：四邊形DNTM是正方形。

12、設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，那么，容易算出：BM:MQ=PN:NC=PT:TQ=(a*c+c^2):(a*b+b^2)

BD:DC=(a+c-b):(a+b-c)

要證明DNTM是正方形，可以先間接證明：

DN//MT//BP

DM//NT//CQ

這就需要證明(a+c-b):(a+b-c)=(a*c+c^2):(a*b+b^2)

因?yàn)閍^2=b^2+c^2，所以容易證明上式成立。

再證明DM=DN。

因?yàn)镈M=BD*CQ/BC，DN=CD*BP/BC，

所以，轉(zhuǎn)而證明：BD:BP=CD:CQ

而這一點(diǎn)是比較容易的了。