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      1. 特征值相乘為什么等于行列式 特征值相乘為什么等于行列式的值

        更新時間:2022-06-11 14:03:47作者:佚名

        特征值相乘為什么等于行列式 特征值相乘為什么等于行列式的值

          因為矩陣可以化成對角元素都是其特征值的對角矩陣,而行列式的值不變,對角矩陣的行列式就是對角元素相乘。記矩陣為A,記λ為A的特征值,按照定義有:f(λ)=det(A-λE)=0,f(λ)為A的特征多項式,A的所有特征值為f(λ)=0的根,根據(jù)韋達定理,方程的根的乘積與系數(shù)的關(guān)系,特征值的乘積恰好為矩陣A的主子式的代數(shù)和,而這個和等于detA。所以特征值乘積等于行列式的值。

        特征值相乘為什么等于行列式

          行列式的性質(zhì):

          1、行列式A中某行(或列)用同一數(shù)k乘,其結(jié)果等于kA。

          2、行列式A等于其轉(zhuǎn)置行列式AT。

          3、若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和,這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn;另一個是с1,с2,…,сn;其余各行(或列)上的元與|αij|的完全一樣。

          4、行列式A中兩行(或列)互換,其結(jié)果等于-A。⑤把行列式A的某行(或列)中各元同乘一數(shù)后加到另一行(或列)中各對應(yīng)元上,結(jié)果仍然是A。

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          拓展:

          行列式定義的連加運算中,每一項可以這么理解:

          行列式每一行都選出一個數(shù)字進行連乘,并且這些選出的數(shù)不能是同一列的。次數(shù)第二高的式子必須至少有n-1個(λ-aii)。

        特征值相乘為什么等于行列式

          然而|λI-A|的連加運算中不可能有哪一項包含n-1個(λ-aii)。因為如果存在包含n-1個(λ-aii)的項,那么假設(shè)沒提供(λ-aii)的那行是第k行。

          第k行必須從別的列上取一個數(shù),但是其他的n-1行提供的(λ-aii)把其他的n-1列都占用了并且還在對角線上。這導(dǎo)致第k行只能去第k列取數(shù),而k行k列顯然是(λ-akk),存在矛盾。

          所以次數(shù)第二高的項也在(-1)τ(1,2,···,n)П(λ-aii)中。

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