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2023-01-31
陶哲軒破解數(shù)十年前幾何猜想，用反例證明它在高維空間不成立
更新時間：2022-12-19 14:05:50作者：智慧百科
Pine 蕭簫 發(fā)自 凹非寺
量子位 | 公眾號 QbitAI
又一個重要數(shù)學(xué)猜想，被陶哲軒和他的博士后破解了！
此前陶哲軒在博客上發(fā)了個小預(yù)告，就已經(jīng)有不少人趕來圍觀：
看起來是個大新聞。
現(xiàn)在，不少人期待的正式版論文，終于在arXiv上新鮮出爐：
這個猜想，與我們熟悉的“鋪瓷磚”問題有關(guān)——
用什么樣的幾何瓷磚，能恰好“天衣無縫”地鋪滿整個地板平面。
它名叫周期性平鋪猜想（periodic tiling conjecture），即在一個平面（plane）中，不存在可以非周期性覆蓋整個平面的單個幾何圖形。
簡單來說，就是不存在一個具備“彭羅斯瓷磚”性質(zhì)的幾何圖形，它既能通過自身平移或移動（不包括旋轉(zhuǎn)）鋪滿整個平面，又能讓平鋪的圖案看起來沒有“規(guī)律性”。
△彭羅斯瓷磚，由兩個幾何圖形非周期性覆蓋
這個猜想曾在二維空間中被證實，因此有數(shù)學(xué)家認為它同樣可以推廣到三維、甚至高維空間中去。
但現(xiàn)在，這個猜想在更高維的空間被陶哲軒和他的博士后否定了。
陶哲軒對此表示：
現(xiàn)在大家已經(jīng)有了新的認知，即高維幾何有點讓人討厭（nasty）。
我們從二維和三維空間中獲得的直覺，或許會對高維空間的研究產(chǎn)生誤導(dǎo)性。
這篇論文出來后，希伯來大學(xué)數(shù)學(xué)名譽教授Gil Kalai發(fā)來祝賀：
羅徹斯特大學(xué)數(shù)學(xué)家Alex Iosevich調(diào)侃了一下否定猜想的方式：
他們不僅推翻了這個猜想，還是以一種極盡羞辱的方式推翻的。
具體如何？可以一起來看看～
“鋪瓷磚”猜想之一，但是高維版
周期性平鋪猜想（periodic tiling conjecture），先后在1987年和1996年的兩篇論文中被提出。
這一猜想認為，在一個平面（plane）中，不存在可以非周期性覆蓋整個平面的單個幾何圖形。
其中，周期性和非周期性，分別是兩種鋪滿平面的方法。
周期性平鋪是一種很有規(guī)律的方法，即通過不斷重復(fù)對某個圖案進行“復(fù)制-平移-移動”，就能規(guī)律性地鋪滿整個平面：
例如用方塊、或是正六邊形瓷磚，就能做到非常直觀的周期性平鋪。
只需要不斷復(fù)制其中的正六邊形或正方形，并進行平移和移動這兩種操作，就能輕松鋪滿整個2D平面：
非周期性的平鋪方法，就沒那么簡單了。
最典型的例子，就是諾貝爾物理學(xué)獎得主彭羅斯提出來的“彭羅斯瓷磚”。
他設(shè)計了一個瘦四邊形（圖中紅色）和一個胖四邊形（圖中藍色），用這兩個圖形就能鋪滿整個平面，然而這兩個圖形究竟是怎么分布的，卻沒有一個具體的規(guī)律可言。
也就是說，用這兩種圖形鋪出來的平面，無法像正方形或正六邊形那樣，被分割出一塊圖案“有規(guī)律”地進行復(fù)制粘貼，而是以一種隨機的方式被鋪在平面上。
所以，周期性平鋪猜想，猜的就是“沒有任何一個幾何圖形，可以靠自身做到非周期性覆蓋整個平面”。
一維猜想已經(jīng)被證實，而就在幾年前，數(shù)學(xué)家Siddhartha Bhattacharya也成功地在二維平面上證明了這個猜想。
于是數(shù)學(xué)家們大膽了起來，他們猜測——如果周期性平鋪猜想放在更高維的平面上，是否同樣適用？
這里面，就包括陶哲軒和他的博士后格林菲爾德（Rachel Greenfeld），后者曾在加州大學(xué)洛杉磯分校（UCLA）任助理教授，如今去了普林斯頓大學(xué)。
至少在發(fā)現(xiàn)反例前，他們曾試圖證明過高維平面的周期性平鋪猜想。
想證明卻發(fā)現(xiàn)了反例
當格林菲爾德以博士后的身份來到UCLA后，她和陶哲軒便將目光瞄向了周期性平鋪猜想。
由于猜想在一維和二維空間被證實，他們決定證明更高維度的猜想，先從三維開始：
如果一個單一的形狀可以鋪滿整個三維空間，那么一定有方法周期性地把它鋪滿整個空間。
他們甚至為此設(shè)計了一個新方法，再次成功證明了二維平面的猜想，但在證明三維空間時卻屢屢碰壁。
這時陶哲軒開始思考，是不是高維度下這個猜想是有問題的。
于是，他們倆的研究來了個大轉(zhuǎn)向：開始尋找反例。
解決這個問題時，陶哲軒和格林菲爾德想出了一個大“套路”：先拆解，再各個擊破——
將連續(xù)無限點陣列拆解成有限點集，將高維問題拆解成低維問題。
為了便于分解，他們嘗試重新構(gòu)建這個問題：將問題設(shè)計成一個方程系統(tǒng)，其中未知的變量代表高維空間中所有可能的方法。
而方程系統(tǒng)中的每個方程都表示針對解的不同約束，這樣一來，整個高維問題就可以分解成多個不同平面“瓷磚”的問題。
解決“瓷磚”問題的方法也變成了相對容易的計算機編程問題，其中每個命令都是最終平鋪所需要滿足的不同屬性。
而要解決這個問題，就必須保證所有屬性的平鋪都必須是非周期性的。
以三維空間為例，如果將平面“瓷磚”疊在一起，就能設(shè)計出一個適用三維空間的“三明治”結(jié)構(gòu)，每一層瓷磚該如何移動則代表了編程中的屬性。放到更高維空間也是如此。
而陶哲軒他們所做的，就是對這些屬性進行限制，最終排除掉所有的周期解。
那最終的解又是如何找到的呢？
這又是另外一個難題：網(wǎng)格問題，包含無限數(shù)量的行和雖有限但數(shù)量依舊龐大的列。
他們有個很巧妙的思路：做“數(shù)獨”，把網(wǎng)格比作是一個巨大的數(shù)獨游戲，用特定的數(shù)字序列來填充每一行和每一個對角線。
而這些數(shù)字序列則需要滿足平鋪方程的約束條件。
最終，陶哲軒發(fā)現(xiàn)了得出的序列是非周期性的，這也意味著平鋪方程組的解也是非周期性的。
至此，高維空間的周期性平鋪猜想被陶哲軒和他的博士后推翻了。
至于這一反例的維度究竟有多高，陶哲軒給了個大致的范圍讓大伙“感受感受”：
△這維度也太高了
當然，他們倆的這項工作并不僅僅止于推翻這個猜想，還標志著一種新方法的出現(xiàn)——
它既可以被用來構(gòu)建一些非周期性平鋪猜想，也可以用來推翻其他與瓷磚問題有關(guān)的猜想。
就好比說數(shù)學(xué)家們一般要證明一個猜想是“不可判定”的，通常會證明它等同于另一個已知的“不可判定問題”。
不可判定問題是可計算性理論和計算復(fù)雜性理論中定義的一類決定性問題，此類問題無法總是用單一算法得出正確的是/否的答案。
因此，若這個平鋪問題被證明是不可判定的，那它便可以作為一個工具來證明在其他情況下一些問題的不可判定性。
論文地址：
https://arxiv.org/abs/2211.15847
參考鏈接：
[1]https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/
[2]https://terrytao.wordpress.com/2022/11/29/a-counterexample-to-the-periodic-tiling-conjecture-2/
