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極目新聞?dòng)浾?狄鑫

“幾乎全國(guó)小朋友都在用的教材，是不是有一處錯(cuò)？”

12月13日，家住武漢市漢陽區(qū)的市民程先生，致電楚天都市報(bào)極目新聞熱線電話（027-86777777）反映，他11歲的兒子發(fā)現(xiàn)人民教育出版社發(fā)行的數(shù)學(xué)教材上有一處“錯(cuò)誤”，父子二人一番討論后，程先生也認(rèn)為此處表述確實(shí)“不嚴(yán)謹(jǐn)”。

人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)教材

小學(xué)生關(guān)注的例題

程先生的兒子程啟就讀于晴川實(shí)驗(yàn)小學(xué)，父子倆說的這道題，是六年級(jí)上冊(cè)第八單元《數(shù)學(xué)廣角》中的第二道例題（如上圖所示）：計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…。課本中借助圓和線段兩種畫圖方式證明，“這些分?jǐn)?shù)不斷加下去，總和就是1?！背虇⒄J(rèn)為問題就出在結(jié)論上。

程先生和兒子探討后，十分支持孩子的觀點(diǎn)。他認(rèn)為，無論是從邏輯推理還是數(shù)學(xué)計(jì)算上來說，這組數(shù)列若繼續(xù)加下去，答案應(yīng)當(dāng)是無限接近于1，但永遠(yuǎn)不等于1。程啟在網(wǎng)課時(shí)曾向數(shù)學(xué)老師提問，老師稱需要查閱資料后回答。

程先生表示：“作為全國(guó)統(tǒng)一版的教材，怎么會(huì)在這里出現(xiàn)錯(cuò)誤呢？”他提議，讓兒子給出版單位的官方郵箱發(fā)郵件求解答。截至記者發(fā)稿前，程啟尚未收到回復(fù)郵件。

極目新聞?dòng)浾叨啻螕艽蛉嗣窠逃霭嫔绨l(fā)行教材后記中的“聯(lián)系方式”，以及人民教育官方網(wǎng)站咨詢電話，均未接通。

程啟向出版社發(fā)郵件提出困惑（家長(zhǎng)供圖）

對(duì)此，記者咨詢了多位小學(xué)數(shù)學(xué)老師，其中有老師表示，曾有學(xué)生提出類似的想法并在課堂上展開討論?！斑@是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，證明‘等于1’是一個(gè)復(fù)雜的過程，后面更高段的學(xué)習(xí)中會(huì)學(xué)到，放在此處是為了幫助學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合的方法?！币晃恍W(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)老師說。

另一位小學(xué)老師則表示，程家父子間相互討論、分享觀點(diǎn)式的親子互動(dòng)值得鼓勵(lì)，并點(diǎn)贊了這位父親認(rèn)真對(duì)待孩子提問的態(tài)度。

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究竟課本中的表述是否嚴(yán)謹(jǐn)？

極目新聞?dòng)浾咦稍兞酥心厦褡宕髮W(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院副教授佘緯，對(duì)方推導(dǎo)分析后表示，教材中的這個(gè)等式是沒有問題的。

佘教授解釋，這個(gè)問題涉及到大學(xué)數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重要概念：

一個(gè)是極限，一個(gè)是（常數(shù)項(xiàng)）無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱（常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)。其中極限的概念高中就會(huì)接觸到，而級(jí)數(shù)的概念要到大學(xué)才會(huì)學(xué)到。簡(jiǎn)單地說，一個(gè)（常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)就是一個(gè)無窮數(shù)列的和。

教材中出現(xiàn)的表達(dá)式1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…就是一個(gè)級(jí)數(shù)。它是一個(gè)無窮等比數(shù)列的和，這樣的級(jí)數(shù)稱為等比級(jí)數(shù)。

對(duì)于一個(gè)級(jí)數(shù)，我們往往關(guān)注它是否收斂。一個(gè)級(jí)數(shù)收斂的意思是這個(gè)級(jí)數(shù)的和會(huì)無限接近于某個(gè)常數(shù)。當(dāng)一個(gè)級(jí)數(shù)收斂于某個(gè)常數(shù)時(shí)，我們也稱這個(gè)級(jí)數(shù)的和為這個(gè)常數(shù)。

一個(gè)級(jí)數(shù)是無窮項(xiàng)的和，那么怎么計(jì)算它的和呢？這里需要用到極限的知識(shí)。

級(jí)數(shù)1/2+1/4+1/8+…的前n個(gè)項(xiàng)的和為1/2+1/4+1/8+…+1/2n，這個(gè)和稱為級(jí)數(shù)的部分和。那么該級(jí)數(shù)就是當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)的部分和。也就是說，該級(jí)數(shù)的和等于部分和在n趨近于無窮大時(shí)的極限。

根據(jù)等比數(shù)列求和公式，部分和1/2+1/4+1/8+…+1/2n = 1-1/2n，它的極限為1。因此，級(jí)數(shù)1/2+1/4+1/8+…收斂于1，或級(jí)數(shù)1/2+1/4+1/8+…的和為1，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示，就是：

1/2+1/4+1/8+… = 1

佘教授還表示，教材中的這道題旨在讓小學(xué)生的通過圖形來理解極限思想，他們將來在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)過程中會(huì)再次接觸極限這一概念。

佘教授說：“無論如何，還是要為敢于質(zhì)疑課本的程啟同學(xué)點(diǎn)贊。小學(xué)生能主動(dòng)提問，大膽質(zhì)疑，思維嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)膩是非常值得鼓勵(lì)的?！?/p>

佘緯教授求證過程

對(duì)于這道題，

各位網(wǎng)友們又是怎么看的呢？

（課本圖片來源于網(wǎng)絡(luò)）

來源：極目新聞（記者：狄鑫）

編輯：陳曦紫

審核：張欣