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2023-01-31
x的x次方圖像長啥樣？刷新你對數(shù)學(xué)的認(rèn)知！
更新時間：2023-01-13 10:30:22作者：智慧百科
在中學(xué)時候，我們學(xué)習(xí)過冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，比如y=x2，y=2x，都是大家比較熟悉的。
冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)
可是，你知道 y=xx圖像長什么樣嗎？
這并不是一個簡單的問題，我們需要使用復(fù)數(shù)對“乘方”的概念進行拓展。這可能會有點難，但是如果你能花點時間看完這篇文章，并且稍作思考，那你一定能被數(shù)學(xué)之美所折服。
01
實數(shù)乘方的含義
我們先來討論一下：在實數(shù)范圍內(nèi)，乘方的含義：
在底數(shù)c大于0的時候，乘方一定有意義，例如：
按照這樣的方法，計算y=xx在x>0的范圍內(nèi)是很容易的，利用軟件可以畫出：
如果底數(shù)c小于0，有時cx依然有意義，例如：
但也有時候，cx在實數(shù)范圍內(nèi)無意義，例如：
因為負(fù)數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)不能開平方，所以這個乘方就沒有意義。中學(xué)時候老師教給我們一個判斷方法：負(fù)數(shù)不能開偶次方根。
可是，利用這個規(guī)則我們依然不能判斷所有的情況，比如
π是一個無理數(shù)，根本不能寫成兩個整數(shù)的比，所以也不知道它到底是在開奇數(shù)次方根，還是在開偶次方根，我們甚至不知道它在實數(shù)范圍內(nèi)有沒有意義。
使用中學(xué)階段的乘方知識，我們就只能理解到這里了，所以沒辦法畫出y=xx在x
02
復(fù)數(shù)的三角形式
我們知道：一個復(fù)數(shù)a+bi對應(yīng)了復(fù)平面上的一個點：
復(fù)數(shù)和復(fù)平面
如果我們把這個點和原點連起來，形成一個向量，那么向量的長度ρ叫做復(fù)數(shù)的模，向量與實軸正半軸的夾角θ叫做輻角。這樣，復(fù)數(shù)還可以寫成這樣的形式：
其中
這叫做復(fù)數(shù)的三角形式。
緊跟著，我們又要引用一個數(shù)學(xué)上的重要公式——歐拉公式，它告訴我們：對于自然對數(shù)的底e，虛數(shù)單位i和一個實數(shù)θ，有關(guān)系：
所以，剛才的復(fù)數(shù)又可以表示成
這就是復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。
大家注意：θ角具有周期性，因為一個向量每轉(zhuǎn)動360度，方向都是相同的。所以向量的輻角有無窮多個，彼此相差2π。比如
為了方便起見，有時候我們會省略2kπ，把1+i的輻角說成π/4，實際上這只是無窮多個輻角之一，稱為主輻角。但在我們后面討論的問題中，必須考慮所有的輻角，這是問題的關(guān)鍵。
利用指數(shù)形式，計算復(fù)數(shù)的乘方會非常容易，規(guī)則是：
舉個例子：要計算1+i的三次方，我們可以使用下面的方法：
利用指數(shù)形式
在復(fù)平面上畫出這個向量，注意：無論k取什么整數(shù)，向量的方向都是固定的，與實軸正方向夾角為135度。顯然，這個結(jié)果等于-2+2i。
03
乘方概念的拓展
利用復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，我們可以對乘方的概念進行拓展。注意：拓展之后的乘方概念，將會變成一個多值函數(shù)。即計算一個乘方，會有好幾個甚至無窮多個答案。
這其實不難理解，比如“4的平方根”就是一個多值函數(shù)，結(jié)果是2和-2，其中2叫做算術(shù)平方根。
我們首先對正數(shù)的乘方進行拓展，即
雖然c是一個實數(shù)，但是我們依然可以把它看作是虛部為零的復(fù)數(shù)，那么它的模就等于c，而輻角就是0，2π，4π，…
然后，我們利用復(fù)數(shù)乘方法則，得到：
在k取不同值的時候，cx就會產(chǎn)生不同的結(jié)果，這些結(jié)果有些是實數(shù)，有些不是實數(shù)。
舉個例子：計算2的1/3次方。
這個結(jié)果的模都是三次根號2，但是在k取不同整數(shù)時，輻角并不相同。
在復(fù)平面上畫出這三個點，你會發(fā)現(xiàn)三個數(shù)中一個是實數(shù)，另外兩個是非實數(shù)的復(fù)數(shù)，當(dāng)k繼續(xù)取4、5、6…等值的時候，結(jié)果會重復(fù)落在這三個點上。
2的1/3次方有三個取值
那么，c
負(fù)數(shù)c的模等于-c，而輻角就是π，3π，5π，…
我們利用復(fù)數(shù)乘方法則，得到：
同樣，在k取不同值的時候，cx就會產(chǎn)生不同的結(jié)果，這些結(jié)果有些是實數(shù)，有些不是實數(shù)。
舉個例子：計算-2的1/3次方。
結(jié)果的模是三次根號2，但是在k取不同整數(shù)時，輻角并不相同。
在復(fù)平面上畫出這三個點，你會發(fā)現(xiàn)只有一個（k=1）是實數(shù)，另外兩個是非實數(shù)的復(fù)數(shù)。
-2的1/3次方有三個取值
甚至有時候，復(fù)數(shù)的乘方結(jié)果都不是實數(shù)，例如按照剛才的方法計算(-2)1/4，你會發(fā)現(xiàn)它的結(jié)果是
畫在復(fù)平面上，會發(fā)現(xiàn)一共有4個結(jié)果，而且全都不是實數(shù)。這就是為什么復(fù)數(shù)的偶次方根在實數(shù)范圍內(nèi)無意義。
-2的1/4有4個取值
那么，能不能總結(jié)一下，什么時候乘方在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？什么時候沒意義？
其實，進行了復(fù)數(shù)拓展后，正數(shù)和負(fù)數(shù)的區(qū)別只在于主輻角不同，正數(shù)的主輻角是0，而負(fù)數(shù)是π，這樣按照復(fù)數(shù)的乘方規(guī)則，我們有：
其中
對于正數(shù)c而言，cx的輻角是2kπx，只要k=0，無論x取多少，輻角都一定是0，對應(yīng)一個正實數(shù)。所以，正數(shù)的任何實數(shù)次方在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義。
但對于負(fù)數(shù)c而言，cx的輻角是(2kπ+π)x，除非這個結(jié)果是π的整數(shù)倍，才能獲得實數(shù)。因此，負(fù)數(shù)的乘方不能獲得實數(shù)，除非滿足(2k+1)x是整數(shù)。用數(shù)學(xué)表達式寫成：
這時，我們就可以對x進行討論了。
1. 如果x是一個無理數(shù)：無論k取哪個整數(shù)，(2k+1)x都不可能是有理數(shù)，自然也不會等于整數(shù)了，因此cx不是實數(shù)。
2. 如果x是一個有理數(shù)，那么可以把x寫作：
于是有：
它是否能成為整數(shù)？我們又要分兩種情況：
若q為偶數(shù)：因為2k+1是奇數(shù)，若q是偶數(shù)，那么2k+1和q不可能完全約分，因此(2k+1)x不可能是整數(shù)，cx不是實數(shù)。這就是以前說的：負(fù)數(shù)不能開偶次方根。
若q為奇數(shù)：因為2k+1是奇數(shù)，只要2k+1=q，3q，5q…等值，就能把q完全約分掉，所以(2k+1)x完全可以是整數(shù)，cx是實數(shù)。這就是為什么負(fù)數(shù)可以開奇次方根。
總結(jié)成一句話：在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任意次方都有意義，負(fù)數(shù)的乘方要有意義，除非指數(shù)是有理數(shù)，且寫成最簡分?jǐn)?shù)時，分母是奇數(shù)。
04
函數(shù)圖像
利用剛才討論的結(jié)果，我們來一起研究一些有趣的函數(shù)圖像吧。
首先，我們來討論一個簡的函數(shù)：y=(-1)x，按照剛才的討論，我們有：
它的模是1，輻角會發(fā)生變化。而且，當(dāng)k取0、1、2…時，輻角隨x的變化速度不一樣，你可以通過一張動圖觀察在k不同時，輻角隨x的變化情況：
k取不同取值時，-1的x次方的輻角變化情況
我們還可以畫得漂亮些：在三維空間中取三個坐標(biāo)軸，描繪出cx的實部（向左的軸）、虛部（向上的軸）隨著x（向右的軸）的變化情況，你會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k取不同值時，cx的取值構(gòu)成了一系列的螺旋：
k取不同取值時，-1的x次方構(gòu)成了一系列螺旋
什么時候(-1)x能獲得實數(shù)呢？只需要把這些螺旋和實平面相交，交點就是實數(shù)。實際上，這些點并不是連續(xù)的，根據(jù)我們剛才的討論，此時的x必須是有理數(shù)，并且當(dāng)x寫成最簡分?jǐn)?shù)時，分母一定是奇數(shù)，例如x=1/3，2/5，3/7等。
-1的x次方的圖像
講了這么多，終于可以講講最初的問題了：y=xx函數(shù)圖像到底長啥樣？
根據(jù)之前的討論，我們令ρ=|x|，則：
首先討論結(jié)果的模，利用軟件很容易算出函數(shù)值的模的變化規(guī)律，它在x=1/e和-1/e的位置，取到兩個極值點：
|x|x的圖像
然后我們研究函數(shù)的輻角：當(dāng)k分別取0、1、2、3…時，函數(shù)值都有螺旋線（除了x>0且k=0時，函數(shù)會是一條連續(xù)的平面曲線外），這無數(shù)條螺旋線組合在一起，圖像有點像一個寶葫蘆。
k取不同值時xx的函數(shù)圖像
讓這個寶葫蘆和實平面相交，就會得到函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)的圖像：它在第一象限中是一條實線，在其他三個象限都是虛線。
y=xx在實數(shù)范圍內(nèi)的圖像
我們來具體解釋一下。我們已經(jīng)知道：如果函數(shù)值是實數(shù)，那么它的輻角必須是π的整數(shù)倍，而且，如果輻角是π的偶數(shù)倍，函數(shù)值就是正實數(shù)；如果輻角是π的奇數(shù)倍，函數(shù)值就是負(fù)實數(shù)。
1. 在x>0時，xx的輻角是2kπx。
若k=0，無論x取何實，輻角都是0，此時xx是一個正的實數(shù)，對應(yīng)第一象限里連續(xù)的線；
若k≠0，如果2kx是一個奇數(shù)，那么xx是一個負(fù)的實數(shù)，對應(yīng)著第四象限的斷續(xù)的線。
2. 在x
若(2k+1)x是偶數(shù)，那么xx是一個正的實數(shù)，對應(yīng)第二象限的斷續(xù)線；
若(2k+1)x是奇數(shù)，那么xx是一個負(fù)的實數(shù)，對應(yīng)第三象限的斷續(xù)線。
這就是y=xx這個奇怪的函數(shù)圖像了，
你感受到數(shù)學(xué)之美了嗎？
y=xx在復(fù)數(shù)域內(nèi)的圖像